Question

15．如图，长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=16，BC=10，AA₁=8，点E，F分别在A₁B₁，D₁C₁上，A₁E=D₁F=4，点H，G分别在AB，CD上，AH=DG=10．
（1）证明四边形EFGH为正方形；
（2）求平面EFGH把该长方体分成的两部分体积的比值．

Answer 1

分析 （1）利用平行公理证出平行四边形，根据数据计算得出邻边相等，根据线面垂直得出邻边垂直；
（2）两部分都是侧放的直棱柱且高相等，故体积比为底面积的比．

解答 证明：（1）∵A₁E=D₁F，A₁E∥D₁F，
∴四边形A₁EFD₁是平行四边形，∴EF∥A₁D₁，EF=A₁D₁，
同理，HG∥AD，HG=AD，∴EF∥HG，EF=HG．
∴四边形EFGH是平行四边形，
过点E作EM⊥AB，垂足为M，则EM=AA₁=8，AM=A₁E=4，
∴MH=AH-AM=6，EH=$\sqrt{E{M}^{2}+M{H}^{2}}$=10，∴EF=EH，
∴四边形EFGH是菱形．
∵A₁D₁⊥平面ABB₁A₁，EF∥A₁D₁，
∴EF⊥平面ABB₁A₁，∵EH?平面ABB₁A₁，
∴EF⊥EH，∴四边形EFGH是正方形．
（2）EB₁=A₁B₁-A₁E=12，HB=AB-AH=6，
S${\;}_{梯形AHE{A}_{1}}$=$\frac{1}{2}$（A₁E+AH）•AA₁=7AA₁，S${\;}_{梯形HB{B}_{1}E}$=$\frac{1}{2}$（HB+B₁E）•AA₁=9AA₁，
∴$\frac{{V}_{1}}{{V}_{2}}$=$\frac{7}{9}$．

点评 本题考查了线面平行的性质和几何体的体积计算，属于基础题．