Question

10．在等腰直角三角形MON中，∠MON=90°，且OM=ON=1，已知$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{OM}$-2$\overrightarrow{ON}$，$\overrightarrow{OB}$=λ$\overrightarrow{OM}$+$\overrightarrow{ON}$，若∠AOB为锐角，则实数λ的取值范围是λ＞2．

Answer 1

分析 若∠AOB为锐角，则$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=（$\overrightarrow{OM}$-2$\overrightarrow{ON}$）•（λ$\overrightarrow{OM}$+$\overrightarrow{ON}$）＞0，进而得到实数λ的取值范围．

解答 解：∵等腰直角三角形MON中，∠MON=90°，且OM=ON=1，
∴|$\overrightarrow{OM}$|=|$\overrightarrow{ON}$|=1，$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=0，
又∵$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{OM}$-2$\overrightarrow{ON}$，$\overrightarrow{OB}$=λ$\overrightarrow{OM}$+$\overrightarrow{ON}$，
若∠AOB为锐角，则$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=（$\overrightarrow{OM}$-2$\overrightarrow{ON}$）•（λ$\overrightarrow{OM}$+$\overrightarrow{ON}$）=λ$\overrightarrow{OM}$²+（1-2λ）$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$-2$\overrightarrow{ON}$²=λ-2＞0，
即λ＞2，
故答案为：λ＞2．

点评 本题考查的知识点是向量的线性运算，向量的数量积运算，难度中档．