Question

6．对于实数集A={x|x²-2ax+（4a-3）=0}和B={x|x²-2$\sqrt{2}$ax+（a²+a+2）=0}，是否存在实数a，使A∪B=∅？若a不存在，请说明理由；若a存在，请求出实数a的取值范围．

Answer 1

分析 若A∪B=∅，则方程x²-2ax+（4a-3）=0和x²-2$\sqrt{2}$ax+（a²+a+2）=0均为空集，故$\left\{\begin{array}{l}4{a}^{2}-4（4a-3）＜0\\ 8{a}^{2}-4（{a}^{2}+a+2）＜0\end{array}\right.$，解得答案．

解答 解：若A∪B=∅，则方程x²-2ax+（4a-3）=0和x²-2$\sqrt{2}$ax+（a²+a+2）=0均为空集，
故$\left\{\begin{array}{l}4{a}^{2}-4（4a-3）＜0\\ 8{a}^{2}-4（{a}^{2}+a+2）＜0\end{array}\right.$，
解得：a∈（1，2）

点评 本题考查的知识是集合的并集运算，方程根的个数与判断式的关系，难度中档．