Question

1．已知函数f（x）=sin²（x+$\frac{π}{12}$）-sinxcosx．
（Ⅰ）求f（x）的值域；
（Ⅱ）设锐角△ABC中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，f（B）=$\frac{1}{2}$，a+c=3，b=$\sqrt{5}$，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用三角恒等变换化简函数f（x）的解析式，再利用正弦函数的值域求得函数f（x）的值域．
（Ⅱ）根据f（B）=$\frac{1}{2}$，求得B=$\frac{π}{3}$，再利用余弦定理求得ac的值，从而求得△ABC的面积$\frac{1}{2}$ac•sinB 的值．

解答 解：（Ⅰ）函数f（x）=sin²（x+$\frac{π}{12}$）-sinxcosx=$\frac{1-cos（2x+\frac{π}{6}）}{2}$-$\frac{1}{2}$sin2x=-$\frac{\sqrt{3}}{4}$cos2x-$\frac{1}{4}$sin2x+$\frac{1}{2}$
=-$\frac{1}{2}$sin（2x+$\frac{π}{3}$）+$\frac{1}{2}$，
故函数f（x）的值域为[0，1]．
（Ⅱ）设锐角△ABC中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∵f（B）=-$\frac{1}{2}$sin（2B+$\frac{π}{3}$）+$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$，
∴2B+$\frac{π}{3}$=π，∴B=$\frac{π}{3}$．
由a+c=3，b=$\sqrt{5}$，利用余弦定理可得 b²=5=a²+c²-2ac•cosB=（a+c）²-3ac=9-3ac，
∴ac=$\frac{4}{3}$，∴△ABC的面积为 $\frac{1}{2}$ac•sinB=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的值域，正弦定理的应用，属于中档题．