Question

9．已知双曲线C与椭圆$\frac{{x}^{2}}{27}+\frac{{y}^{2}}{36}=1$有相同的焦点，且经过点（$\sqrt{15}$，4）．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）若F₁，F₂为双曲线的两个焦点，点P在双曲线上，且∠F₁PF₂=120°．求△PF₂F₁的面积．

Answer 1

分析 （1）根据已知中双曲线与椭圆$\frac{{x}^{2}}{27}+\frac{{y}^{2}}{36}=1$有相同焦点，我们可以设出双曲线的标准方程（含参数a），然后根据经过点（$\sqrt{15}$，4），得到一个关于a的方程，解方程，即可得到a²的值，进而得到双曲线的方程．
（2）由题意可得F₁ （0，-3），F₂（0，3），由余弦定理可得|PF₁|•|PF₂|=$\frac{20}{3}$，由S=$\frac{1}{2}$|PF₁|•|PF₂|sin120°，求得△F₁PF₂的面积．

解答 解：（1）椭圆$\frac{{x}^{2}}{27}+\frac{{y}^{2}}{36}=1$的焦点为（0，±3），c=3，
设双曲线方程为$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{9-{a}^{2}}$=1，
∵过点（$\sqrt{15}$，4），则$\frac{16}{{a}^{2}}$-$\frac{15}{9-{a}^{2}}$=1
得a²=4或36，而a²＜9，∴a²=4，
双曲线方程为$\frac{{y}^{2}}{4}-\frac{{x}^{2}}{5}$=1；
（2）由题意可得，a=2，b=$\sqrt{5}$，c=3，得F₁ （0，-3），F₂（0，3），
又|F₁F₂|²=36，||PF₁|-|PF₂||=4，
由余弦定理可得：
|F₁F₂|²=|PF₁|²+|PF₂|²-2|PF₁|•|PF₂|cos120°=（|PF₁|-|PF₂|）²+3|PF₁|•|PF₂|=16+3|PF₁|•|PF₂|=36，
∴|PF₁|•|PF₂|=$\frac{20}{3}$
∴△F₁PF₂的面积S=$\frac{1}{2}$|PF₁|•|PF₂|sin120°=$\frac{1}{2}×\frac{20}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{5\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查的知识点是双曲线的标准方程，余弦定理，以及双曲线的简单性质的应用，根据已知条件设出双曲线的标准方程（含参数a），并构造一个关于a的方程，是解答本题的关键．