Question

2．已知集合M={（x，y）|y=f（x）}，若对于任意实数对（x₁，y_l）∈M，存在（x₂，y₂）∈M，使得x₁x₂+y₁y₂=0成立，则称集合M为“正交点集”，给出下列集合；
①M={（x，y）|y=$\frac{1}{x}$}；②M={（x，y）|y=-x²+1}；③M={（x，y）|y=cosx}；
④M={（x，y）|y=x-$\frac{1}{x}$）；⑤M={（x，y）||x|+|y|=1}．
则满足条件的“正交集合”有：②③⑤（写出所有满足条件的集合的序号）

Answer 1

分析 ①对于任意实数对（x₁，y_l）∈M，则x₁y₁=1，因此不存在（x₂，y₂）∈M，使得x₁x₂+y₁y₂=0成立，即可判断出正误；
②对于任意实数对（x₁，y_l）∈M，假设存在（x₂，y₂）∈M，使得x₁x₂+y₁y₂=0成立，则x₁x₂+$（1-{x}_{1}^{2}）（1-{x}_{2}^{2}）$=0，化为：$（{x}_{1}^{2}-1）{x}_{2}^{2}$+x₁x₂-$（{x}_{1}^{2}-1）$=0，当x₁=±1时，（±1，0），则存在（0，1），满足x₁x₂+y₁y₂=0；当x₁≠±1时，△＞0，因此存在（x₂，y₂）∈M，满足x₁x₂+y₁y₂=0，即可判断出正误；
③M={（x，y）|y=cosx}，如图所示：任取点P，则存在点Q，使得OP⊥OQ，即可判断出正误．
④取（1，0），则不存在（x₂，y₂）（x₂≠0）∈M，使得x₁x₂+y₁y₂=x₂=0成立，即可判断出正误；
⑤M={（x，y）||x|+|y|=1}，由图象可知：任取点P，则在图象上存在点Q，使得OQ⊥OP，即可判断出正误．

解答 解：①M={（x，y）|y=$\frac{1}{x}$}，对于任意实数对（x₁，y_l）∈M，则x₁y₁=1，因此不存在（x₂，y₂）∈M，使得x₁x₂+y₁y₂=0成立，不正确；
②M={（x，y）|y=-x²+1}，对于任意实数对（x₁，y_l）∈M，假设存在（x₂，y₂）∈M，
使得x₁x₂+y₁y₂=0成立，则x₁x₂+$（1-{x}_{1}^{2}）（1-{x}_{2}^{2}）$=0，化为：$（{x}_{1}^{2}-1）{x}_{2}^{2}$+x₁x₂-$（{x}_{1}^{2}-1）$=0，当x₁=±1时，（±1，0），则存在（0，1），满足x₁x₂+y₁y₂=0；
当x₁≠±1时，△=${x}_{1}^{2}$+4$（{x}_{1}^{2}-1）^{2}$＞0，因此存在（x₂，y₂）∈M，满足x₁x₂+y₁y₂=0，
∴M是“正交集合”；
③M={（x，y）|y=cosx}，如图所示：任取点P，则存在点Q，使得OP⊥OQ．
因此对于任意实数对（x₁，y_l）∈M，存在（x₂，y₂）∈M，使得x₁x₂+y₁y₂=0成立，因此集合M是“正交集合”，正确；
④M={（x，y）|y=x-$\frac{1}{x}$），取（1，0），则不存在（x₂，y₂）（x₂≠0）∈M，使得x₁x₂+y₁y₂=x₂=0成立，因此不正确；
⑤M={（x，y）||x|+|y|=1}，由图象可知：任取点P，则在图象上存在点Q，使得OQ⊥OP．即对于任意实数对（x₁，y_l）∈M，存在（x₂，y₂）∈M，使得x₁x₂+y₁y₂=0成立，∴集合M是“正交集合”，因此正确．
则满足条件的“正交集合”有：②③⑤．
故答案为：②③⑤．

点评 本题考查了新定义“正交集合”的性质、向量垂直与数量积的运算性质，考查了数形结合方法、推理能力与计算能力，属于中档题．