Question

12．已知函数f（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$）+2cos²x-1（x∈R）
（1）求f（x）的单调递增区间；
（2）在△ABC中，三内角A，B，C的对边分别为b、a、c，若f（A）=$\frac{1}{2}$，且$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=9，b，a，c成等差数列，求角A及a的值．

Answer 1

分析 （1）由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的单调性求得函数的增区间．
（2）由f（A）=$\frac{1}{2}$，求得 A=$\frac{π}{3}$，再根据且$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=9，求得bc=18．根据2a=b+c，再由余弦定理求得a的值．

解答 解：（1）函数f（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$）+2cos²x-1=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+$\frac{1}{2}$cos2x=sin（2x+$\frac{π}{6}$），
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得kπ-$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{π}{6}$，
可得函数的增区间为[kπ-$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{π}{6}$]，k∈Z．
（2）在△ABC中，∵f（A）=sin（2A+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，∴A=$\frac{π}{3}$，
再根据且$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=bc•cosA=9，求得bc=18．
根据b，a，c成等差数列，2a=b+c，由余弦定理可得 a²=b²+c²-2bc•cosA=（b+c）²-3bc=a²-54，
∴a=3$\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的单调性，余弦定理，属于中档题．