Question

14．已知函数f（x）对任意实数x均有f（x）=kf（x+2），其中常数k为负数，且f（x）在区间[0，2]有表达式f（x）=x（x-2）
（I）求出f（-1），f（2.5）的值；
（Ⅱ）若函数f（x）在区间[-2，2]的最大值与最小值分别为m，n，且m-n=3，求k的值．

Answer 1

分析 （1）直接根据定义得f（x+2）=$\frac{1}{k}$f（x），求得f（2.5）和f（-1）；
（2）先求出f（x）的解析式f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x（x-2），x∈[0，2]}\\{kx（x+2），x∈[-2，0）}\end{array}\right.$，再求出各分段的值域，得出m，n的值．

解答 解：（1）因为f（x）=kf（x+2），
所以，f（x+2）=$\frac{1}{k}$f（x），因此，
f（2.5）=$\frac{1}{k}$f（0.5）=-$\frac{9}{4k}$，
f（-1）=kf（1）=-k；
（2）根据题意，当x∈[0，2]，f（x）=x（x-2），
当x∈[-2，0]时，x+2∈[0，2]，
所以f（x）=kf（x+2）=k（x+2）x，其中，k＜0，
因此，x∈[-2，2]时，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x（x-2），x∈[0，2]}\\{kx（x+2），x∈[-2，0）}\end{array}\right.$，
当x∈[0，2]，f（x）=（x-1）²-1∈[-1，0]，
当x∈[-2，0]，f（x）=k[（x+1）²-1]∈[0，-k]，
所以，函数的最大值为m=-k，最小值为n=-1，如右图，
因为，m-n=3，-k+1=3，
解得k=-2．

点评 本题主要考查了函数值的求解，分段函数解析式的确定，以及运用二次函数的性质确定函数的值域，属于中档题．