Question

9．函数f（x）=$\frac{ax+b}{{1+{x^2}}}$是定义在（-1，1）上的奇函数，且$f（\frac{1}{2}）=\frac{2}{5}$
（1）求f（x）的解析式；
（2）试判断f（x）在（-1，1）上的单调性，并利用函数单调性的定义证明；
（3）若f（t-1）+f（t）＜0，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由f（-x）=-f（x），代入可求b，然后由且f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{2}{5}$可求a，进而可求函数解析式；
（2）利用函数单调性的定义进行证明；
（3）利用函数奇偶性和单调性的性质将不等式进行转化进行求解即可．

解答 解：（1）∵函数f（x）=$\frac{ax+b}{1+{x}^{2}}$是定义在（-1，1）上的奇函数，
∴f（-x）=-f（x），即 $\frac{-ax+b}{1+{x}^{2}}=-\frac{ax+b}{1+{x}^{2}}$，
∴-ax+b=-ax-b，∴b=0，
∵f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{2}{5}$，
∴$\frac{\frac{1}{2}a}{1+（\frac{1}{2}）^{2}}=\frac{2}{5}$，解得a=1，
∴f（x）=$\frac{x}{1+{x}^{2}}$．
（2）证明：在区间（-1，1）上任取x₁，x₂，令-1＜x₁＜x₂＜1，
∴f（x₁）-f（x₂）=$\frac{{x}_{1}}{1+{{x}_{1}}^{2}}$-$\frac{{x}_{2}}{1+{{x}_{2}}^{2}}$=$\frac{（{x}_{1}-{x}_{2}）（1-{x}_{1}{x}_{2}）}{（1+{{x}_{1}}^{2}）（1+{{x}_{2}}^{2}）}$；
∵-1＜x₁＜x₂＜1
∴x₁-x₂＜0，1-x₁x₂＞0，1+x₁²＞0，1+x₂²＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＜0即f（x₁）＜f（x₂）
故函数f（x）在区间（-1，1）上是增函数．
（3）∵f（x）是奇函数，
∴不等式f（t-1）+f（t）＜0等价为f（t-1）＜-f（t）=f（-t），
∵函数f（x）在区间（-1，1）上是增函数，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-1＜t＜1}\\{-1＜t-1＜1}\\{t-1＜-t}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{-1＜t＜1}\\{0＜t＜2}\\{t＜\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，解得0＜t＜$\frac{1}{2}$，
即不等式的解集为（0，$\frac{1}{2}$）．

点评 本题考查函数奇偶性与单调性的性质应用，着重考查学生理解函数奇偶性与用定义证明单调性及解方程，解不等式组的能力，属于中档题．