Question

4．如图，已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱长是2，底面△ABC是等腰直角三角形，且∠ACB=90°，AC=2，E是AB的中点，D是AA₁的中点，则三棱锥D-B₁C₁E的体积是（　　）

• A． 1
• B． $\frac{1}{3}$
• C． $\frac{\sqrt{2}}{3}$
• D． $\frac{2}{3}$

Answer 1

分析 求出底面DB₁E的面积，求出C₁到底面的距离，然后求解棱锥的体积．

解答 解：直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱长是2，底面△ABC是等腰直角三角形，且∠ACB=90°，
过C₁作C₁G⊥A₁B₁于G，则C₁G⊥平面DB₁E，C₁G=$\sqrt{2}$．
三棱锥D-B₁C₁E的体积就是C₁-DB₁E的体积．
${S}_{{△DB}_{1}E}$=${S}_{{AA}_{1}{B}_{1}B}$-${S}_{{△B}_{1}BF}$-S_△AED-${S}_{{△DA}_{1}{B}_{1}}$=$2×2\sqrt{2}$$-\frac{1}{2}×2×\sqrt{2}$$-\frac{1}{2}×\sqrt{2}×1$$-\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×1$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．
三棱锥D-B₁C₁E的体积是：$\frac{1}{3}×\frac{3\sqrt{2}}{2}×\sqrt{2}$=1．
故选：A．

点评 本题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．