Question

5．如图，已知棱长为1的正方体中ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P，Q是面对角线A₁C₁上的两个不同动点，若PQ=1，则四面体BDPQ在该正方体六个面上的正投影的面积的和为2+2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 分别判断四面体BDPQ在正方体六个面上的正投影的形状，进而求出四面体BDPQ在正方体六个面上的正投影的两种，相加可得答案．

解答 解：四面体BDPQ在上下两个底面上的投影是对角线互相垂直且对角线长度分别1和$\sqrt{2}$的四边形，其面积为定值$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
四面体BDPQ在四个侧面上的投影，均为上底为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，下底和高均为1的梯形，其面积为定值$\frac{\sqrt{2}}{4}$$+\frac{1}{2}$，
故四面体BDPQ在该正方体六个面上的正投影的面积的和为定值2×$\frac{\sqrt{2}}{2}$+4×（$\frac{\sqrt{2}}{4}$$+\frac{1}{2}$）=2+2$\sqrt{2}$，
故答案为：2+2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查的知识点是平行投影，其中根据已知分析出四面体BDPQ在正方体六个面上的正投影的形状，是解答的关键．