Question

17．已知函数f（x）=（a-1）x³+x²+（b-4）x+c为偶函数．则求函数g（x）=ax²+bx在区间[c，c+1]的值域．

Answer 1

分析 根据函数f（x）为偶函数可得a，b的值，进而得到函数g（x）的解析式，结合二次函数的图象和性质，分类讨论，可得不同情况下函数的值域．

解答 解：∵函数f（x）=（a-1）x³+x²+（b-4）x+c为偶函数．
∴f（-x）=f（x），
即-（a-1）x³+x²-（b-4）x+c=（a-1）x³+x²+（b-4）x+c，
解得：a=1，b=4，
∴函数g（x）=x²+4x的图象是开口朝上，且以直线x=-2为对称轴的抛物线，
①若c+1＜-2，即c＜-3，则函数g（x）=x²+4x在区间[c，c+1]上为减函数，
当x=c时，函数取最大值c²+4c；当x=c+1时，函数取最小值c²+6c+5；
此时函数的值域为：[c²+6c+5，c²+4c]，
②若$\frac{c+（c+1）}{2}$≤-2≤c+1，即-3≤c≤$-\frac{5}{2}$，则函数g（x）=x²+4x在区间[c，-2]上为减函数，在区间[-2，c+1]上为增函数，
当x=c时，函数取最大值c²+4c；当x=-2时，函数取最小值-4，
此时函数的值域为：[-4，c²+4c]，
③若c≤-2＜$\frac{c+（c+1）}{2}$，即$-\frac{5}{2}$＜c≤-2，则函数g（x）=x²+4x在区间[c，-2]上为减函数，在区间[-2，c+1]上为增函数，
当x=c+1时，函数取最大值c²+6c+5；当x=-2时，函数取最小值-4，
此时函数的值域为：[-4，c²+6c+5]，
④若c＞-2，则函数g（x）=x²+4x在区间[c，c+1]上为增函数，
当x=c+1时，函数取最大值c²+6c+5；当x=c时，函数取最小值c²+4c；
此时函数的值域为：[c²+4c，c²+6c+5]．

点评 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．