Question

8．已知数列{a_n}习前n顶和为S_n，且满足a₁=1，a_n+2S_nS_n-1=0，（n≥2）
（1）求证：数列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}是等差数列．
（2）求{a_n}的通项a_n．

Answer 1

分析 （1）把a_n=S_n-S_n-1（n≥2）代入a_n+2S_nS_n-1=0，整理后可得数列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}是等差数列．
（2）利用（1）求出S_n，再由a_n=S_n-S_n-1（n≥2）求得{a_n}的通项a_n．

解答 （1）证明：由a_n+2S_nS_n-1=0，（n≥2），得
S_n-S_n-1=-2S_nS_n-1，即$\frac{1}{{S}_{n}}-\frac{1}{{S}_{n-1}}=2$（n≥2）．
又$\frac{1}{{S}_{1}}=\frac{1}{{a}_{1}}=1$．
∴数列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}是以1为首项，以2为公差的等差数列．
（2）解：由（1）得，$\frac{1}{{S}_{n}}=1+2（n-1）=2n-1$，
∴${S}_{n}=\frac{1}{2n-1}$．
则${a}_{n}={S}_{n}-{S}_{n-1}=\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n-3}=-\frac{2}{（2n-1）（2n-3）}$（n≥2）．
当n=1时，上式不成立．
∴${a}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{1，n=1}\\{-\frac{2}{（2n-1）（2n-3）}，n≥2}\end{array}\right.$．

点评 本题考查数列递推式，考查了等差关系的确定，训练了等差数列通项公式的求法，是中档题．