Question

13．已知函数f（x）=cos（$\frac{π}{3}$+x）•cos（$\frac{π}{3}$-x），g（x）=$\frac{1}{2}$sin2x-$\frac{1}{4}$，函数h（x）=f（x）-g（x），则h（x）取得最大值时x的集合为{x|x=kπ-$\frac{π}{8}$，k∈Z}．

Answer 1

分析 由三角函数公式化简可得h（x）=f（x）-g（x）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$cos（2x+$\frac{π}{4}$），由三角函数的最值可得．

解答 解：由三角函数公式化简可得
f（x）=cos（$\frac{π}{3}$+x）•cos（$\frac{π}{3}$-x）
=（$\frac{1}{2}$cosx-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinx）（$\frac{1}{2}$cosx+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinx）
=$\frac{1}{4}$cos²x-$\frac{3}{4}$sin²x
=$\frac{1}{4}$•$\frac{1+cos2x}{2}$-$\frac{3}{4}$•$\frac{1-cos2x}{2}$
=$\frac{1}{2}$cos2x-$\frac{1}{4}$，
∴h（x）=f（x）-g（x）
=$\frac{1}{2}$cos2x-$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{2}$sin2x+$\frac{1}{4}$
=$\frac{\sqrt{2}}{2}$cos（2x+$\frac{π}{4}$）
∴当2x+$\frac{π}{4}$=2kπ（k∈Z）时，h（x）取得最大值$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
此时x的集合为{x|x=kπ-$\frac{π}{8}$，k∈Z}
故答案为：{x|x=kπ-$\frac{π}{8}$，k∈Z}

点评 本题考查三角函数恒等变换，涉及三角函数的最值，属基础题．