Question

18．若函数f（x）=|2x-1|，则函数g（x）=f（f（x））+lnx在[0，1]上的不同零点个数为3．

Answer 1

分析 先通过分类讨论求出f[f（x）]的表达式（分四段），再运用数形结合的方法得出两图象有三个交点．

解答 解：∵x∈[0，1]，根据题意，令|2x-1|≥$\frac{1}{2}$，
解得x∈[0，$\frac{1}{4}$]∪[$\frac{3}{4}$，1]，所以，
①当x∈[0，$\frac{1}{4}$]时，f（x）=1-2x，
f[f（x）]=2（1-2x）-1=-4x+1；
②当x∈[$\frac{3}{4}$，1]时，f（x）=2x-1，
f[f（x）]=2（2x-1）-1=4x-3；
同理，令|2x-1|＜$\frac{1}{2}$，解得x∈（$\frac{1}{4}$，$\frac{3}{4}$），得到，
③当x∈（$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$]时，f（x）=1-2x，f[f（x）]=1-2（1-2x）=4x-1；
④当x∈（$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{4}$）时，f（x）=2x-1，f[f（x）]=1-2（2x-1）=-4x+3．
所以，x∈[0，1]时，记y=h（x）=f[f（x）]=$\left\{\begin{array}{l}{-4x+1，x∈[0，\frac{1}{4}]}\\{4x-1，x∈（\frac{1}{4}，\frac{1}{2}]}\\{-4x+3，x∈（\frac{1}{2}，\frac{3}{4}]}\\{4x-3，x∈（\frac{3}{4}，1]}\end{array}\right.$，
画出函数y=h（x）（紫线）和y=-lnx（蓝线）的图象，如右图：
显然，两函数图象有三个交点（可以考察x=$\frac{1}{2}$处的函数值来判别交点个数），
所以，原函数g（x）=f（f（x））+lnx在[0，1]上有3个零点，
故答案为：3．

点评 本题主要考查了根的存在和个数的判断，涉及分段解析式的确定，体现了分类讨论，数形结合的解题思想，属于难题．