Question

9．函数f（x）=sinxsin（x+$\frac{π}{3}$）+2cos²x的值域为[$\frac{5-2\sqrt{3}}{4}$，$\frac{5+2\sqrt{3}}{4}$]．

Answer 1

分析 化简可得f（x）=$\frac{5}{4}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos（2x+$\frac{π}{6}$），易得值域．

解答 解：化简可得f（x）=sinxsin（x+$\frac{π}{3}$）+2cos²x
=sinx（$\frac{1}{2}$sinx+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosx）+2cos²x
=$\frac{1}{2}$sin²x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinxcosx+2cos²x
=$\frac{1}{2}$•$\frac{1-cos2x}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{4}$sin2x+2•$\frac{1+cos2x}{2}$
=$\frac{5}{4}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$（$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2x-$\frac{1}{2}$sin2x）
=$\frac{5}{4}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos（2x+$\frac{π}{6}$），
∴函数的值域为[$\frac{5-2\sqrt{3}}{4}$，$\frac{5+2\sqrt{3}}{4}$]，
故答案为：[$\frac{5-2\sqrt{3}}{4}$，$\frac{5+2\sqrt{3}}{4}$]．

点评 本题考查三角函数的值域，属基础题．