Question

4．△ABC中，点A（4，-1），AB的中点为M（3，2），重心为P（4，2），求边BC的长．

Answer 1

分析 根据题意，画出图形，结合图形，利用AB的中点坐标求出点B的坐标，
再利用重心坐标求出BC边的中点N的坐标，即可求出边长BC的值．

解答 解：△ABC中，点A（4，-1），AB的中点为M（3，2），重心为P（4，2），
画出图形，如图所示；
设点B的坐标为（x，y），则
$\left\{\begin{array}{l}{\frac{x+4}{2}=3}\\{\frac{y-1}{2}=2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=5}\end{array}\right.$，即B（2，5）；
延长AP交BC与点N，则$\overrightarrow{AP}$=2$\overrightarrow{PN}$，
设点N的坐标为（x′，y′），
则$\overrightarrow{AP}$=（0，3），$\overrightarrow{PN}$=（x′-4，y′-2）；
∴$\left\{\begin{array}{l}{2（x′-4）=0}\\{2（y′-2）=3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x′=4}\\{y′=\frac{7}{2}}\end{array}\right.$，
∴点N（4，$\frac{7}{2}$），
∴BN=$\sqrt{{（4-2）}^{2}{+（\frac{7}{2}-5）}^{2}}$=$\frac{5}{2}$，
∴边长BC=2BN=5．

点评 本题考查了直线方程的应用问题，也考查了三角形的重心与线段中点的应用问题，是综合性题目．