Question

19．设函数$f（x）=\sqrt{3}sinxcosx-{cos^2}x-\frac{1}{2}，x∈R$．
（I）求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）若$x∈（{0，\frac{π}{2}}）$，求函数f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）利用倍角公式及两角差的正弦函数公式化简可得解析式：f（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$）-1，利用周期公式即可得解；
（2）由$x∈（{0，\frac{π}{2}}）$，可得2x-$\frac{π}{6}$∈（-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$），利用正弦函数的图象和性质即可求得其值域．

解答 解：（1）∵$f（x）=\sqrt{3}sinxcosx-{cos^2}x-\frac{1}{2}，x∈R$．
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{cos2x+1}{2}$-$\frac{1}{2}$
=sin（2x-$\frac{π}{6}$）-1，
∴T=$\frac{2π}{2}=π$．
（2）∵$x∈（{0，\frac{π}{2}}）$，
∴2x-$\frac{π}{6}$∈（-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$），
∴sin（2x-$\frac{π}{6}$）∈（-$\frac{1}{2}$，1]，
∴f（x）∈（-$\frac{3}{2}$，0]．

点评 本题主要考查了倍角公式及两角差的正弦函数公式，周期公式，正弦函数的图象和性质的综合应用，考查了计算能力，属于基础题．