Question

11．函数f（x）=cosxcos（x-$\frac{π}{3}$），x∈（0，$\frac{π}{3}$）的值域为[$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{4}$]．

Answer 1

分析 由三角函数公式化简可得f（x）=$\frac{1}{2}$sin（2x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{4}$，由x的范围可得2x+$\frac{π}{6}$∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$），可得三角函数的值域．

解答 解：由三角函数公式化简可得f（x）=cosxcos（x-$\frac{π}{3}$）
=cosx（$\frac{1}{2}$cosx+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinx）=$\frac{1}{2}$cos²x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinxcosx
=$\frac{1}{2}$•$\frac{1+cos2x}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{4}$sin2x=$\frac{\sqrt{3}}{4}$sin2x+$\frac{1}{4}$cos2x+$\frac{1}{4}$
=$\frac{1}{2}$sin（2x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{4}$
∵x∈（0，$\frac{π}{3}$），∴2x∈（0，$\frac{2π}{3}$），
∴2x+$\frac{π}{6}$∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$），
∴当2x+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{6}$或$\frac{5π}{6}$时，函数sin（2x+$\frac{π}{6}$）取最小值$\frac{1}{2}$，此时函数f（x）取最小值$\frac{1}{2}$；
当2x+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$时，函数sin（2x+$\frac{π}{6}$）取最大值1，此时函数f（x）取最大值$\frac{3}{4}$；
故函数的值域为：[$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{4}$]，
故答案为：[$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{4}$]

点评 本题考查三角函数恒等变换，涉及和差角的三角函数公式和三角函数的最值，属中档题．