Question

1．已知数列{a_n}满足${4^{a_1}}×{4^{a_2}}×{4^{a_3}}×…×{4^{a_n}}={2^{n（n+1）}}$
（1）求数列{a_n}的通项公式
（2）设b_n=1+tana_n+1•tana_n+2，求数列{b_n}的前n项和．

Answer 1

分析 （1）由于数列{a_n}满足${4^{a_1}}×{4^{a_2}}×{4^{a_3}}×…×{4^{a_n}}={2^{n（n+1）}}$，可得${2}^{2（{a}_{1}+{a}_{2}+…+{a}_{n}）}$=2^n（n+1），可得S_n=$\frac{n（n+1）}{2}$，利用递推关系即可得出a_n．
（2）${b_n}=1+tan（n+1）tan（n+2）=\frac{1}{tan1}[{tan（n+2）-tan（n+1）}]$，利用“裂项求和”即可得出．

解答 解：（1）∵数列{a_n}满足${4^{a_1}}×{4^{a_2}}×{4^{a_3}}×…×{4^{a_n}}={2^{n（n+1）}}$，
∴${2}^{2（{a}_{1}+{a}_{2}+…+{a}_{n}）}$=2^n（n+1），
解得S_n=$\frac{n（n+1）}{2}$，
∴当n=1时，a₁=1；
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{n（n+1）}{2}$-$\frac{n（n-1）}{2}$=n．
∴a_n=n．
（2）${b_n}=1+tan（n+1）tan（n+2）=\frac{1}{tan1}[{tan（n+2）-tan（n+1）}]$，
∴${s}_{n}=\frac{1}{tan1}[（tan3-tan2）+（tan4-tan3）+…+（tan（n+2）-tan（n+1））]$，
∴${s_n}=\frac{1}{tan1}[{tan（n+2）-tan2}]$．

点评 本题考查了递推关系、指数幂的运算性质、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．