Question

13．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，AB边（包括端点）上一点F，BC边（包括端点）上一点E满足线段EF分△ABC的面积为相等的两部分；
（1）设BF=x，EF=y，将y表示为x的函数；
（2）求线段EF长的取值范围．

Answer 1

分析 （1）过F作FG⊥BE于G，把sinB用含有x的代数式表示，得到FG=$\frac{3}{5}x，BG=\frac{4}{5}x$，进一步得到EG，然后利用等积法列式可得$y=\sqrt{{x}^{2}+\frac{100}{{x}^{2}}-16}$（$\frac{5}{2}≤$x≤5）；
（2）利用函数的单调性求得线段EF长的取值范围．

解答 解：（1）设BF=x，EF=y，
∵∠C=90°，AC=3，BC=4，∴AB=5，
过F作FG⊥BE于G，则$sinB=\frac{3}{5}$=$\frac{FG}{x}$，
∴FG=$\frac{3}{5}x$，BG=$\frac{4}{5}x$，
则EG=$\sqrt{{y^2}-\frac{9}{25}{x^2}}$，
故有$\frac{1}{2}（\sqrt{{y^2}-\frac{9}{25}{x^2}}+\frac{4}{5}x）\frac{3}{5}x=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×3×4$．
化简，得：${y^2}={x^2}+\frac{100}{x^2}-16$（$\frac{5}{2}$≤x≤5）．
∴$y=\sqrt{{x}^{2}+\frac{100}{{x}^{2}}-16}$（$\frac{5}{2}≤$x≤5）；
（2）设f（x）=${y^2}={x^2}+\frac{100}{x^2}-16$（$\frac{5}{2}$≤x≤5）．
∵f（x）在[$\frac{5}{2}，\sqrt{10}$]上为减函数，在（$\sqrt{10}，5$]上为增函数，
且f（$\frac{5}{2}$）=$\frac{25}{4}$，f（5）=13，f（$\sqrt{10}$）=4，
∴线段WF长的取值范围为$[2，\sqrt{13}]$．

点评 本题考查函数解析式的求解及常用方法，考查简单的数学建模思想方法，是中档题．