Question

14．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1的两焦点为F₁，F₂，设点P（x₀，y₀）满足0＜$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{2}$+y₀²＜1．
（1）求|PF₁|+|PF₂|的取值范围；
（2）试判断直线$\frac{{x}_{0}}{2}$x+y₀y=1与椭圆C有几个交点，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）先根据椭圆的定义得到|PF₁|+|PF₂|=2a，然后根据点P（x₀，y₀）满足0＜$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{2}$+y₀²＜1，得出点P在椭圆内部，最后根据点P在椭圆上时|PF₁|+|PF₂|最大，可确定答案；
（2）直接联立直线方程和椭圆方程，化为关于x的一元二次方程后，利用判别式判断．

解答 解：（1）由题意可知|PF₁|+|PF₂|=2a．
点P（x₀，y₀）满足0＜$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{2}$+y₀²＜1，
得出点P在椭圆内部，且与原点不重合，
∵当点P在椭圆上时|PF₁|+|PF₂|最大，
最大值为2a=2$\sqrt{2}$，而点P在椭圆内部，
∴|PF₁|+|PF₂|＜2$\sqrt{2}$．
∵当点P在线段F₁F₂上除原点时，|PF₁|+|PF₂|最小，最小值为2，
∴|PF₁|+|PF₂|≥2．
则|PF₁|+|PF₂|的取值范围为[2，2$\sqrt{2}$）；
（2）联立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}_{0}}{2}x+{y}_{0}y=1}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得$（2{{y}_{0}}^{2}+{{x}_{0}}^{2}）{x}^{2}-4{x}_{0}x+4-4{{y}_{0}}^{2}=0$．
△=$（-4{x}_{0}）^{2}-4（2{{y}_{0}}^{2}+{{x}_{0}}^{2}）（4-4{{y}_{0}}^{2}）$=$16{{y}_{0}}^{2}（{{x}_{0}}^{2}+2{{y}_{0}}^{2}-2）$．
∵0＜$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{2}$+y₀²＜1，∴${{x}_{0}}^{2}+2{{y}_{0}}^{2}-2＜0$．
则当y₀=0时，△=0，直线$\frac{{x}_{0}}{2}$x+y₀y=1与椭圆C有1个交点；
当y₀≠0时，直线$\frac{{x}_{0}}{2}$x+y₀y=1与椭圆C无交点．

点评 本题主要考查椭圆的定义、椭圆的简单性质，解答的关键是在区域的边界上利用椭圆的定义，即椭圆上点到两焦点的距离的和等于2a．对于（2）的求解，直接利用判别式法即可，是中档题．