Question

8．若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（　　） 

• A． $\frac{16}{3}$ π
• B． $\frac{19}{3}$ π
• C． $\frac{19}{12}$ π
• D． $\frac{4}{3}$ π

Answer 1

分析 由已知得该三棱柱的底面棱长为2，高为1的正三棱柱，先求出底面外接圆半径和球心到底面的球心距，从而能求出球半径，由此能求出该球的表面积．

解答 解：由已知底面是正三角形的三棱柱的正视图
我们可得该三棱柱的底面棱长为2，高为1
则底面外接圆半径r=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，球心到底面的球心距d=$\frac{1}{2}$，
则球半径R²=$\frac{4}{3}+\frac{1}{4}$=$\frac{19}{12}$，
则该球的表面积S=4πR²=$\frac{19}{3}π$．
故选：B．

点评 本题考查三棱柱的外接球的表面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意正三棱柱的结构特征和球的性质的合理运用．