Question

18．如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，E，F分别为棱AB，PC的中点 
（1）求证：PE⊥BC； 
（2）求证：EF∥平面PAD．

Answer 1

分析 （1）证明PA⊥BC，AB⊥BC，证得CB⊥平面PAB，从而有CB⊥PE．
（2）取CD的中点G，由FG是三角形CPD的中位线，可得 FG∥PD，再由举行的性质得 EG∥AD，证明平面EFG∥平面PAD，从而证得EF∥平面PAD．

解答 解：（1）证明：∵侧棱PA垂直于底面，∴PA⊥BC．
又底面ABCD是矩形，∴AB⊥BC，
这样，CD垂直于平面PAD内的两条相交直线，∴CB⊥平面PAB，
∴CB⊥PE．
（2）取CD的中点G，
∵E、F分别是AB、PC的中点，∴FG是三角形CPD的中位线，
∴FG∥PD，FG∥面PAD．∵底面ABCD是矩形，∴EG∥AD，EG∥平面PAD．
故平面EFG∥平面PAD，∴EF∥平面PAD．

点评 本题考查证明线线垂直、线面平行的方法，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于中档题．