Question

6．函数f（x）=x²-2x-8，若对一切x＞2均有f（x）≥（m+2）x-m-15成立．则实数m的取值最大为2．

Answer 1

分析 由已知可得x²-2x-8≥（m+2）x-m-15，x＞2恒成立，即m≤$\frac{{x}^{2}-4x+7}{x-1}$=（x-1）+$\frac{4}{x-1}$-2，x＞2恒成立，结合基本不等式求出m的范围，可得实数m的最大值．

解答 解：∵f（x）=x²-2x-8，
若对一切x＞2均有f（x）≥（m+2）x-m-15成立．
则x²-2x-8≥（m+2）x-m-15，x＞2恒成立，
即m≤$\frac{{x}^{2}-4x+7}{x-1}$=（x-1）+$\frac{4}{x-1}$-2，x＞2恒成立，
∵x-1＞1，
故（x-1）+$\frac{4}{x-1}$-2≥2$\sqrt{（x-1）\frac{4}{x-1}}$-2=2，
当且仅当x=3时，（x-1）+$\frac{4}{x-1}$-2取最小值2，
故m≤2，
即实数m的取值最大为2，
故答案为：2．

点评 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．