Question

13．已知a，b均为正数，$\frac{1}{a}+\frac{4}{b}=1$，求使a+b≥c恒成立的c的取值范围．

Answer 1

分析 先用“贴1法”求得a+b的最小值，即a+b=（a+b）•1=（a+b）•（$\frac{1}{a}$+$\frac{4}{b}$），展开再用基本不等式求最值即可．

解答 解：因为a，b均为正数，且$\frac{1}{a}+\frac{4}{b}=1$，所以，
a+b=（a+b）•1=（a+b）•（$\frac{1}{a}$+$\frac{4}{b}$）
=5+$\frac{b}{a}$+$\frac{4a}{b}$≥5+2$\sqrt{\frac{b}{a}•\frac{4a}{b}}$=9，
即a+b≥9，
根据题意，c≤（a+b）_min，∴c≤9．
故实数c的取值范围为：（-∞，9]．

点评 本题主要考查了基本不等式在求最值中的应用，其中灵活运用“贴1法”是解决本题的关键，属于基础题．