Question

18．定义：对于函数f（x），若存在非零常数M，T，使函数f（x）对于定义域内的任意实数x，都有f（x+T）-f（x）=M，则称函数f（x）是广义周期函数，其中称T为函数f（x）的广义周期，M称为周距．
（1）证明函数f（x）=x+（-1）^x（x∈Z）是以2为广义周期的广义周期函数，并求出它的相应周距M的值；
（2）设函数y=g（x）是周期T=2的周期函数（即满足g（x+2）=g（x）），当函数f（x）=-2x+g（x）在[1，3]上的值域为[-3，3]时，求f（x）在[-9，9]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）由已知条件推导出f（x+2）-f（x）═2，由此证明函数f（x）=x+（-1）^x（x∈Z）是广义周期函数，它的周距为2；
（2）由f（x+2）-f（x）=-4，知f（x）是广义周期函数，且T=2，M=-4，由此能求出f（x）在[-9，9]上的最大值和最小值．

解答 （1）证明：∵f（x）=x+（-1）^x（x∈Z），
∴f（x+2）-f（x）=[（x+2）+（-1）^x+2]-[x+（-1）^x]=2，（非零常数）
∴函数f（x）=x+（-1）^x（x∈Z）是广义周期函数，
它的周距为2．
（2）解：∵f（x+2）-f（x）=-2（x+2）+g（x+2）+2x-g（x）=-4，
∴f（x）是广义周期函数，且T=2，M=-4．
设x₁，x₂∈[1，3]满足f（x₁）=-3，f（x₂）=3，
由f（x+2）=f（x）-4得：
f（x₁+6）=f（x₁+4）-4=f（x₁+2）-4-4
=f（x₁）-4-4-4=-3-12=-15，
又∵f（x+2）=f（x）-4＜f（x），
∴f（x）在区间[-9，9]上的最小值是x在[7，9]上得到的，
而x₁+6∈[7，9]，∴f（x）在[-9，9]上的最小值为-15．
由f（x+2）=f（x）-4，
得f（x-2）=f（x）+4，
∴f（x₂-10）=f（x₂-8）+4=f（x₂-6）+4+4=…=f（x₂）+20=23，
又∵f（x-2）=f（x）+4＞f（x），
∴f（x）在区间[-9，9]上的最大值是x在[-9，-7]上获得的，
而x₂-10∈[-9，-7]，f（x）在[-9，9]上的最大值为23．
综上可得f（x）在[-9，9]上的最大值为23，最小值为-15．

点评 本题考查广义周期函数的证明，考查广义周期函数的求法，考查函数的最大值的求法，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．