Question

7．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F₁，F₂，长轴为8，P是椭圆上的一点，PF₂⊥F₁F₂，PF₂=$\frac{1}{3}$PF₁．
（1）求椭圆方程；
（2）过椭圆左准线l上任意一点A引圆Q：x²+（y-$\frac{{b}^{2}}{2a}$）²=$\frac{9}{16}$a²的两条切线，切点分别为M，N．试探究直线MN是否过定点？若过定点，请求出该定点；否则，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由题意画出图形，求出|PF₂|=$\frac{{b}^{2}}{4}$，则|PF₁|=$\frac{3}{4}{b}^{2}$，结合椭圆定义求得b²，则椭圆方程可求；
（2）由（1）求出椭圆准线方程，设出A的坐标，求出以AQ为直径的圆的方程，利用圆系方程求得直线MN的方程，再由直线系方程说明直线MN过定点，并求得定点坐标．

解答 解：（1）如图，
由题意，2a=8，a=4，|PF₂|=$\frac{{b}^{2}}{4}$，则|PF₁|=$\frac{3}{4}{b}^{2}$，
由$\frac{{b}^{2}}{4}+\frac{3}{4}{b}^{2}=8$，解得b²=8．
∴椭圆方程为：$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{8}=1$；
（2）由（1）知，c²=a²-b²=8，∴$c=2\sqrt{2}$．
∴椭圆左准线l方程：x=$-\frac{16}{2\sqrt{2}}=-4\sqrt{2}$．
设A（-4$\sqrt{2}$，y₀），圆Q：x²+（y-1）²=9．
则圆Q的圆心Q（0，1），
AQ的中点为G（-$2\sqrt{2}$，$\frac{{y}_{0}+1}{2}$），
$|GQ|=\sqrt{（-2\sqrt{2}）^{2}+（\frac{{y}_{0}-1}{2}）^{2}}$，
∴以AQ为直径的圆的方程为$（x+2\sqrt{2}）^{2}+（y-\frac{{y}_{0}+1}{2}）^{2}=8+（\frac{{y}_{0}-1}{2}）^{2}$．
化为一般式：${x}^{2}+{y}^{2}+4\sqrt{2}x-（{y}_{0}+1）y+{y}_{0}-8=0$．
又圆Q：x²+y²-2y-8=0．
两式作差得：$4\sqrt{2}x-{y}_{0}y+y+{y}_{0}=0$．
即$4\sqrt{2}x+y-{y}_{0}（y-1）=0$，
由$\left\{\begin{array}{l}{4\sqrt{2}x+y=0}\\{y-1=0}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{\sqrt{2}}{8}}\\{y=1}\end{array}\right.$．
∴直线MN过定点（$-\frac{\sqrt{2}}{8}，1$）．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查了椭圆方程的求法，考查了直线与圆的位置关系，训练了求过圆上两切点直线方程的求法，方法灵活，注意掌握，是中档题．