Question

17．函数y=$\frac{4-sinx}{3-cosx}$的最大值为$\frac{{6+\sqrt{6}}}{4}$．

Answer 1

分析 函数$y=\frac{4-sinx}{3-cosx}$表示过A（cosx，sinx），B（3，4）的直线的斜率，由直线和圆相切可得．

解答 解：函数$y=\frac{4-sinx}{3-cosx}$表示过A（cosx，sinx），B（3，4）的直线的斜率，
由几何意义可得过定点（3，4）与单位圆相切时的切线斜率为最值，
故设切线的斜率为k，则直线方程为y-4=k（x-3），即kx-y-3k+4=0，
由点到直线的距离公式和直线与圆相切可得$\frac{{|{-3k+4}|}}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=1$，
解得$k=\frac{{6±\sqrt{6}}}{4}$，∴${k_{max}}=\frac{{6+\sqrt{6}}}{4}$．
故答案为：$\frac{{6+\sqrt{6}}}{4}$

点评 本题考查三角函数的最值，转化为直线的斜率以及直线和圆相切是解决问题的关键，属基础题．