Question

12．极限$\underset{lim}{x→0}$$\frac{1}{2+{3}^{\frac{1}{x}}}$的结果是（　　）

• A． 0
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $\frac{1}{5}$
• D． 不存在

Answer 1

分析 分两类讨论，求出函数在x=0处的左右极限，由于左右极限不相等，得出该极限不存在．

解答 解：根据题意，分两类讨论如下：
①x→0⁺时，$\frac{1}{x}$→+∞，${3}^{\frac{1}{x}}$→+∞，
所以，$\underset{lim}{x→{0}^{+}}$$\frac{1}{2+{3}^{\frac{1}{x}}}$=0；
①x→0^-时，$\frac{1}{x}$→-∞，${3}^{\frac{1}{x}}$→0，
所以，$\underset{lim}{x→{0}^{-}}$$\frac{1}{2+{3}^{\frac{1}{x}}}$=$\frac{1}{2}$；
由于，$\underset{lim}{x→{0}^{+}}$$\frac{1}{2+{3}^{\frac{1}{x}}}$≠$\underset{lim}{x→{0}^{-}}$$\frac{1}{2+{3}^{\frac{1}{x}}}$，
所以，极限$\underset{lim}{x→0}$$\frac{1}{2+{3}^{\frac{1}{x}}}$不存在，
故答案为：D．

点评 本题主要考查了极限及其运算，涉及函数在某点处的左右极限，以及极限存在的条件，属于中档题．