Question

4．若动点P到两个定点F₁（-m，0），F₂（m，0）（0＜m＜5）的距离之和为10．
（1）试写出动点P的轨迹曲线名称，并求其方程；
（2）动点P的轨迹曲线上是否存在一点Q，使QF₁⊥QF₂，若存在求出实数m的取值范围，若不存在说明理由；
（3）若抛物线y²=x与动点P的轨迹交于A，B两点，O为坐标原点，若△OAB为等边三角形，求实数m的值．

Answer 1

分析 （1）由题意结合椭圆的定义求得P点的轨迹方程；
（2）假设存在点P（x₀，y₀），设出P点坐标，利用焦半径公式及勾股定理可得${{x}_{0}}^{2}=50-\frac{625}{{m}^{2}}$．然后结合x₀的范围列不等式组求解；
（3）由题意画出图形，求出交点坐标，代入椭圆方程求得m值．

解答 解：（1）动点P到两个定点F₁（-m，0），F₂（m，0）（0＜m＜5）的距离之和为10．
由题意定义可知，P点轨迹为焦点在x轴上的双曲线，且2a=10，a=5．
又c=m，∴b²=a²-c²=25-m²．
则椭圆方程为：$\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{25-{m}^{2}}=1$；
（2）假设$\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{25-{m}^{2}}=1$上存在点Q（x₀，y₀），使QF₁⊥QF₂，
则$|Q{F}_{1}|=5+\frac{m}{5}{x}_{0}$，$|Q{F}_{2}|=5-\frac{m}{5}{x}_{0}$．
由QF₁⊥QF₂，得$（5+\frac{m}{5}{x}_{0}）^{2}+（5-\frac{m}{5}{x}_{0}）^{2}=4{m}^{2}$．
整理得：${{x}_{0}}^{2}=50-\frac{625}{{m}^{2}}$．
∵${0≤{x}_{0}}^{2}＜25$，
∴0$≤50-\frac{625}{{m}^{2}}＜25$．
解得：$\frac{5\sqrt{2}}{2}≤m＜5$．
∴动点P的轨迹曲线上存在点Q，使QF₁⊥QF₂，此时实数m的取值范围是[$\frac{5\sqrt{2}}{2}，5$）；
（3）如图，由题意可得，直线OA的方程为y=$\frac{\sqrt{3}}{3}x$，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{\sqrt{3}}{3}x}\\{{y}^{2}=x}\end{array}\right.$，解得：B（$3，\sqrt{3}$）．
把（3，$\sqrt{3}$）代入椭圆$\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{25-{m}^{2}}=1$，得$\frac{9}{25}+\frac{3}{25-{m}^{2}}=1$．
解得：$m=\frac{5\sqrt{15}}{4}$．

点评 本题考查椭圆标准方程的求法，考查了椭圆的简单性质，训练了椭圆焦半径公式的应用，考查了椭圆与抛物线的位置关系，是中档题．