Question

13．设斜率为2的直线l过抛物线y²=2px（p＞0）的焦点F．且与抛物线交于A，B两点．过A，B两点分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为A₁，B₁，记四边形ABB₁A₁的面积为S．则$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{{A}_{1}{B}_{1}}$=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$S．

Answer 1

分析 设|AF|=m，|BF|=n，利用四边形ABB₁A₁的面积为S，得出S=$\frac{1}{2}•（m+n）•2（m-n）$=m²-n²．再利用向量的数量积公式，即可得出结论．

解答 解：设|AF|=m，|BF|=n，则|AA₁|=m，|BB₁|=n，
∵斜率为2，∴|A₁B₁|=2（m-n），
∵四边形ABB₁A₁的面积为S，
∴S=$\frac{1}{2}•（m+n）•2（m-n）$=m²-n²．
∴$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{{A}_{1}{B}_{1}}$=|$\overrightarrow{AB}$||$\overrightarrow{{A}_{1}{B}_{1}}$|cos＜$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{{A}_{1}{B}_{1}}$＞=（m+n）•2（m-n）•$\frac{2}{\sqrt{5}}$=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$S．
故答案为：$\frac{4\sqrt{5}}{5}$S．

点评 本题考查抛物线的方程与性质，考查向量的数量积公式，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．