Question

2．设F（1，0）是抛物线G：y²=2px的焦点．
（Ⅰ）求抛物线及准线方程；
（Ⅱ）求过点P（0，-2）与抛物线G有一个公共点的直线方程；
（Ⅲ）若点P是抛物线上的动点，点P在y轴上的射影是Q，点$M（{\frac{3}{2}，\frac{{\sqrt{15}}}{2}}）$，试判断|PM|+|PQ|是否存在最小值，若存在求出其最小值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用F（1，0）是抛物线G：y²=2px的焦点，求抛物线及准线方程；
（Ⅱ）分类讨论，结合判别式，求过点P（0，-2）与抛物线G有一个公共点的直线方程；
（Ⅲ）当三点A，P，F共线时，|PA|+|PF|最小，此时为|PA|+|PF|=|AF|，

解答 解：（Ⅰ）∵F（1，0）是抛物线G：y²=2px的焦点，
∴抛物线方程：y²=4x，准线方程：x=-1．＜（1分）＞
（Ⅱ）当斜率不存在时：直线L：x=0与抛物线相切；
设直线L：y+2=kx与抛物线G有一个公共点：
与y²=4x联立，消y得：k²x²-（4k+4）x+4=0＜（2分）＞
∴当k=0时直线L与抛物线G有一个交点；＜（3分）＞
当k≠=0时：△=0，解得：k=--$\frac{1}{2}$，＜（4分）＞
∴所求直线方程：x=0或y=-2或y=-$\frac{1}{2}$x-2．＜（5分）＞
（III）易知点A在抛物线的外侧，延长PM交直线x=-1，
由抛物线的定义可知|PN|=|PM|+1=|PF|，
当三点A，P，F共线时，|PA|+|PF|最小，此时为|PA|+|PF|=|AF|，
又焦点坐标为F（1，0），所以$|{AF}|=\sqrt{{{（\frac{3}{2}-1）}^2}+（\frac{{\sqrt{15}}}{2}}{）^2}=2$，
即|PM|+1+|PA|的最小值为2，所以|PM|+|PA|的最小值为1．＜（7分）＞．

点评 本题考查抛物线方程的求法，考查线段和最小值的求法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．