Question

14．如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，侧面SAB⊥底面ABCD，并且SA=SB=AB=2，F为SD的中点．
（1）求三棱锥S-FAC的体积；
（2）求直线BD与平面FAC所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）由题意，三棱锥S-FAC的体积=三棱锥S-DAC的体积的一半，取AB的中点O，连接SA，利用体积公式求三棱锥S-FAC的体积；
（2）求出D到平面AFC的距离，即可求直线BD与平面FAC所成角的正弦值．

解答 解：（1）由题意，三棱锥S-FAC的体积=三棱锥S-DAC的体积的一半．
取AB的中点O，连接SO，则SO⊥底面ABCD，SO=$\sqrt{3}$，
∵S_△DAC=$\frac{1}{2}×2×2×sin120°$=$\sqrt{3}$，
∴三棱锥S-FAC的体积=$\frac{1}{3}×\sqrt{3}×\sqrt{3}×\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$；
（2）连接OD，OC，则OC=OD=$\sqrt{3}$，∴SC=SD=3，
△SAD中，SA=AD=2，F为SD的中点，∴AF=$\sqrt{4-\frac{9}{4}}$=$\frac{\sqrt{7}}{2}$．
△SCD中，SC=SD=3，CD=2，∴9+4CF²=2（9+4），∴CF=$\frac{\sqrt{17}}{2}$，
△FAC中，cos∠AFC=$\frac{\frac{7}{4}+\frac{17}{4}-4}{2×\frac{\sqrt{7}}{2}×\frac{\sqrt{17}}{2}}$=$\frac{6}{\sqrt{119}}$，
∴sin∠AFC=$\sqrt{\frac{83}{119}}$，
∴S_△AFC=$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{7}}{2}$×$\frac{\sqrt{17}}{2}$×$\sqrt{\frac{83}{119}}$=$\frac{\sqrt{83}}{8}$
设D到平面AFC的距离为h，则$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{83}}{8}h=\frac{1}{2}$，∴h=$\frac{12}{\sqrt{83}}$，
∴直线BD与平面FAC所成角的正弦值$\frac{12}{\sqrt{83}}$÷$\frac{3}{2}$=$\frac{8\sqrt{83}}{83}$

点评 本题考查三棱锥S-FAC的体积，直线BD与平面FAC所成角的正弦值，考查学生的计算能力，正确求体积是关键．