Question

6．求证：
（1）tan$\frac{α}{2}$=$\frac{sinα}{1+cosα}$=$\frac{1-cosα}{sinα}$；
（2）cosαsinβ=$\frac{1}{2}$[sin（α+β）-sin（α-β）]；
（3）sinα-sinβ=2cos$\frac{α-β}{2}$sin$\frac{α-β}{2}$．

Answer 1

分析 （1）利用倍角公式化弦为切证明；
（2）写出两角和与差的正弦，作和证得答案；
（3）在（2）的基础上，令α+β=θ，α-β=φ，解得：α=$\frac{θ+φ}{2}$，β=$\frac{θ-φ}{2}$．代回cosαsinβ=$\frac{1}{2}$[sin（α+β）-sin（α-β）]，则可证明结论成立．

解答 证明：（1）∵$\frac{sinα}{1+cosα}=\frac{2sin\frac{α}{2}cos\frac{α}{2}}{2co{s}^{2}\frac{α}{2}}=\frac{sin\frac{α}{2}}{cos\frac{α}{2}}=tan\frac{α}{2}$，
∴tan$\frac{α}{2}$=$\frac{sinα}{1+cosα}$；
又$\frac{1-cosα}{sinα}$=$\frac{2si{n}^{2}\frac{α}{2}}{2sin\frac{α}{2}cos\frac{α}{2}}=\frac{sin\frac{α}{2}}{cos\frac{α}{2}}=tan\frac{α}{2}$，
∴$\frac{sinα}{1+cosα}$=$\frac{1-cosα}{sinα}$；
（2）∵sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ  ①，
sin（α-β）=sinαcosβ-cosαsinβ  ②，
①-②得：cosαsinβ=$\frac{1}{2}$[sin（α+β）-sin（α-β）]；
（3）由（2）知，cosαsinβ=$\frac{1}{2}$[sin（α+β）-sin（α-β）]③．
令α+β=θ，α-β=φ，解得：α=$\frac{θ+φ}{2}$，β=$\frac{θ-φ}{2}$．
代入上式可得：sinθ-sinφ=cos$\frac{θ+φ}{2}$$•sin\frac{θ-φ}{2}$．
即sinα-sinβ=2cos$\frac{α+β}{2}$sin$\frac{α-β}{2}$．

点评 本题考查三角函数恒等式的证明，关键是对同角三角函数基本关系式和两角和与差的正弦的灵活运用，是中档题．