Question

10．已知A点坐标为（-1，0），B点坐标为（1，0），且动点M到A点的距离是4，线段MB的垂直平分线l交线段MA于点P．（1）求动点P的轨迹C方程；
（2）若P是曲线C上的点，求k=|PA|•|PB|的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）根据题意画出图形，利用垂直平分线转换线段的关系得到|PA|+|PB|=|PA|+|PM|=|AM|=4，据椭圆的定义即可得到动点P的轨迹方程．
（2）利用配方法，即可得出结论．

解答 解：（1）由线段MB的垂直平分线l交MA于点P知，PB=PM
故|PA|+|PB|=|PA|+|PM|=|AM|=4，
即P点的轨迹为以A、B为焦点的椭圆，中心为（0，0），
故P点的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1．
（2）∵|PA|+|PB|=4，
∴k=|PA|•|PB|=|PA|•（4-|PA|）=-（|PA|-2）²+4，
∵1≤|PA|≤3，
∴|PA|=2，k=|PA|•|PB|取最大值4；|PA|=1或，k=|PA|•|PB|取最小值3．

点评 定义法：运用解析几何中一些常用定义（例如圆锥曲线的定义），可从曲线定义出发直接写出轨迹方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程．