Question

11．已知函数f（x）=|x-1|+|x-2|．
（1）用分段函数的形式表示该函数，并在所给的坐标系中画出该函数的图象；
（2）写出该函数的值域、单调区间（不要求证明）；
（3）求不等式f（x）≤3的解集．

Answer 1

分析 （1）分三段讨论并根据表达式画出函数图象；
（2）由图象得出函数的单调区间和值域；
（3）分三段讨论得出不等式的解集．

解答 解：（1）f（x）=|x-1|+|x-2|，分三段讨论如下：
①当x≥2时，f（x）=2x-3；
②当1≤x＜2时，f（x）=1；
③当x＜1时，f（x）=-2x+3，
所以，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2x-3，x≥2}\\{1，1≤x＜2}\\{-2x+3，x＜1}\end{array}\right.$，图象如右图；
（2）函数f（x）的值域为：[1，+∞），
函数f（x）的单调增区间为：[2，+∞），
函数f（x）的单调减区间为：（-∞，1]；
（3）要解不等式f（x）≤3，需分三段讨论如下：
①当x≥2时，f（x）=2x-3≤3，解得，2≤x≤3；
②当1≤x＜2时，f（x）=1≤3恒成立，所以，1≤x＜2；
③当x＜1时，f（x）=-2x+3≤3，解得，0≤x＜1，
综合以上讨论得，f（x）≤3的解集为：[0，3]．

点评 本题主要考查了分段函数的图象和性质，涉及分段函数的表示，图象的作法，值域，单调区间和不等式的解法，属于中档题．