Question

3．已知a、b、c为正数，
（1）若直线2x-（b-3）y+6=0与直线bx+ay-5=0互相垂直，试求2a+3b的最小值；
（2）求证：（ab+a+b+1）（ab+ac+bc+c²）≥16abc．

Answer 1

分析 （1）先根据两直线垂直得出（a-2）（b-3）=6，再运用基本不等式求2a+3b的最小值；
（2）先将原式因式分解，再运用基本不等式通过放缩证明不等式．

解答 解：（1）∵直线2x-（b-3）y+6=0与直线bx+ay-5=0垂直，
∴2b+a[-（b-3）]=0，即ab-3a-2b=0，
∴（a-2）（b-3）=6，
∵a、b为正数，∴a＞2，b＞3，
∴2a+3b=2（a-2）+3（b-3）+13
$≥2\sqrt{2（a-2）•3（b-3）}+13=25$，
当且仅当：2（a-2）=3（b-3），即$\left\{\begin{array}{l}{a=5}\\{b=5}\end{array}\right.$时，取“=”，
故2a+3b的最小值是25；
（2）∵a、b、c为正数，
∴（ab+a+b+1）（ab+ac+bc+c²）
=（a+1）（b+1）（a+c）（b+c）
≥2$\sqrt{a}$•2$\sqrt{b}$•2$\sqrt{ac}$•2$\sqrt{bc}$
=16abc，
即（ab+a+b+1）（ab+ac+bc+c²）≥16abc，
当且仅当：a=b=c=d=1时，取“=”．

点评 本题主要考查了基本不等式在求最值问题中的应用，以及不等式的证明，考查了构造的计算技巧和整体的解题思想，属于中档题．