Question

12．设[x]表示不超过x的最大整数，若[π]=3，[-1.2]=-2．给出下列命题：
①对任意的实数x，都有x-1＜[x]≤x．
②对任意的实数x、y，都有[x+y]≥[x]+[y]．
③[lg1]+[lg2]+[lg3]+…+[lg2014]+[lg2015]=4940．
④若函数f（x）=[x[x]]，当x∈[0，n）（n∈N^*）时，令f（x）的值域为A，记集合A中元素个数为a_n，则$\frac{{a}_{n}+49}{n}$的最小值为$\frac{19}{2}$，其中所有真命题的序号为①②④．

Answer 1

分析 直接利用定义判断①②；利用新定义分类求出各式的值，作和后加以判断③；由题意先求[x]，再求x[x]，然后再求[x[x]]，得到a_n，进而得到$\frac{{a}_{n}+49}{n}$，用基本不等式求解$\frac{{a}_{n}+49}{n}$的最小值判断④．

解答 解：对于①，由[x]表示不超过x的最大整数，则对任意的实数x，都有x-1＜[x]≤x，命题①正确；
对于②，记x=[x]+{x}（0≤{x}＜1），y=[y]+{y}（0≤{y}＜1），
则[x+y]=[[x]+{x}+[y]+{y}]≥[x]+[y]，故②正确；
对于③，∵lg1=0，lg10=1，lg100=2，lg1000=3．
∴[lg1]=[lg2]=[lg3]=[lg4]=…=[lg9]=0，
[lg10]=[lg11]=…=[lg99]=1，
[lg100]=[lg102]=…=[lg999]=2，
[lg1000]=[lg1001]=…=[lg2015]=3，
∴[lg1]+[lg2]+[lg3]+[lg4]+…+[lg2015]=90+90×2+1016×3=4938，命题③错误；
对于④，根据题意：[x]=$\left\{\begin{array}{l}{0，x∈[0，1）}\\{1，x∈[1，2）}\\{…}\\{n-1，x∈[n-1，n）}\end{array}\right.$，
∴x[x]=$\left\{\begin{array}{l}{0，x∈[0，1）}\\{x，x∈[1，2）}\\{…}\\{（n-1）x，x∈[n-1，n）}\end{array}\right.$．
∴[x[x]]在各区间中的元素个数是：1，1，2，3，…，n-1．
∴a_n=$\frac{n（n-1）}{2}+1$，则$\frac{{a}_{n}+49}{n}=\frac{n}{2}+\frac{50}{n}-\frac{1}{2}$，
∴当n=10时，最小值为$\frac{19}{2}$，命题④正确．
故答案为：①②④．

点评 本题考查命题的真假的判断，对新定义的理解应用是解题的关键，通过取整函数来建立新函数，进而研究其定义域和值域，该题是中档题．