Question

2．已知直线y=kx-1与双曲线x²-y²=4，试讨论实数k的取值范围，使直线与双曲线
（1）没有公共点
（2）有两个公共点
（3）只有一个公共点
（4）交于异支两点
（5）交于右支两点．

Answer 1

分析 将直线方程代入双曲线方程，化为关于x的方程，利用方程的判别式，即可求得k的取值范围．

解答 解：由题意，直线y=kx-1代入双曲线x²-y²=4，可得x²-（kx-1）²=4，整理得（1-k²）x²+2kx-5=0．
（1）没有公共点，△=20-16k²＜0，解得k＞$\frac{\sqrt{5}}{2}$或k＜-$\frac{\sqrt{5}}{2}$；
（2）有两个公共点，△=20-16k²＞0，解得-$\frac{\sqrt{5}}{2}$＜k＜$\frac{\sqrt{5}}{2}$；
（3）只有一个公共点，当1-k²=0，k=±1时，符合条件；当1-k²≠0时，由△=20-16k²=0，解得k=±$\frac{\sqrt{5}}{2}$；
（4）交于异支两点，$\frac{-5}{1-{k}^{2}}$＜0，解得-1＜k＜1；
（5）交于右支两点，△=20-16k²＞0且$\frac{-5}{1-{k}^{2}}$＞0，$\frac{-2k}{1-{k}^{2}}$＞0，解得1＜k＜$\frac{\sqrt{5}}{2}$．

点评 本题考查直线与圆锥曲线的关系，解题的关键是将问题转化为方程根的问题，运用判别式解决，注意只有一个公共点时，不要忽视了与渐近线平行的情况，属于易错题．