Question

14．如图，在△ABC中，∠B=30°，AC=2$\sqrt{5}$，D是边AB上一点．
（1）求△ABC的面积的最大值；
（2）若CD=2，△ACD的面积为4，∠ACD为锐角，求BC的长．

Answer 1

分析 （1）由余弦定理得AB•BC≤$\frac{20}{2-\sqrt{3}}$=20（2+$\sqrt{3}$），由此能求出△ABC的面积的最大值．
（2）设∠ACD=θ，由三角形面积得到sinθ=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，cos$θ=\frac{\sqrt{5}}{5}$，由余弦定理，得AD=4，由正弦定理，得$sinA=\frac{\sqrt{5}}{5}$，由此能求出BC的长．

解答 解：（1）∵在△ABC中，∠B=30°，AC=2$\sqrt{5}$，D是边AB上一点，
∴由余弦定理得：
AC²=20=AB²+BC²-2AB•BC•cos∠ABC
=$A{B}^{2}+B{C}^{2}-\sqrt{3}AB•BC$
≥（2-$\sqrt{3}$）AB•BC，
∴AB•BC≤$\frac{20}{2-\sqrt{3}}$=20（2+$\sqrt{3}$），
∴${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}AB•BCsinB$$≤5（2+\sqrt{3}）$，
∴△ABC的面积的最大值为$5（2+\sqrt{3}）$．
（2）设∠ACD=θ，在△ACD中，
∵CD=2，△ACD的面积为4，∠ACD为锐角，
∴${S}_{△ACD}=\frac{1}{2}AC•CD•sinθ$=$\frac{1}{2}×2\sqrt{5}×2sinθ$=4，
∴sinθ=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，cos$θ=\frac{\sqrt{5}}{5}$，
由余弦定理，得AD²=AC²+CD²-2AC•CD•cosθ=20+4-8×$\sqrt{5}×\frac{\sqrt{5}}{5}$=16，
∴AD=4，
由正弦定理，得$\frac{AD}{sinθ}=\frac{CD}{sinA}$，∴$\frac{4}{sinθ}=\frac{2}{sinA}$，∴$sinA=\frac{\sqrt{5}}{5}$，
此时$\frac{BC}{sinA}=\frac{AC}{sinB}$，∴BC=$\frac{ACsinA}{sinB}=4$．
∴BC的长为4．

点评 本题考查三角形面积的最大值的求法，考查线段长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意正弦定理、余弦定理的合理运用．