Question

3．已知a＞0，b＞0，若不等式$a+b≥\frac{mab}{a+4b}$恒成立，则m的最大值等于（　　）

• A． 10
• B． 9
• C． 8
• D． 7

Answer 1

分析 a＞0，b＞0，不等式$a+b≥\frac{mab}{a+4b}$恒成立，m≤$\frac{（a+b）（a+4b）}{ab}$的最小值，利用基本不等式的性质即可得出．

解答 解：∵a＞0，b＞0，不等式$a+b≥\frac{mab}{a+4b}$恒成立，
∴m≤$\frac{（a+b）（a+4b）}{ab}$的最小值，
而$\frac{（a+b）（a+4b）}{ab}$=$\frac{{a}^{2}+4{b}^{2}+5ab}{ab}$≥$\frac{4ab+5ab}{ab}$=9，当且仅当a=2b＞0时取等号．
∴m≤9，
∴m的最大值等于9．
故选：B．

点评 本题考查了恒成立等价转化问题、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．