Question

18．过双曲线x²-$\frac{{y}^{2}}{2}$=1的右焦点作直线交双曲线于A、B两点，若|AB|=a则这样的直线可以做出几条？
①|AB|=1，这样的直线可以做出0条；
②|AB|=2，这样的直线可以做出1条；
③|AB|=3，这样的直线可以做出2条；
④|AB|=4，这样的直线可以做出3条；
⑤|AB|=5，这样的直线可以做出4条．

Answer 1

分析 由双曲线的方程即可得到右焦点，分类讨论直线l的斜率即可得出．

解答 解：由双双曲线x²-$\frac{{y}^{2}}{2}$=1，得a²=1，b²=2，c=$\sqrt{3}$，得右焦点F（$\sqrt{3}$，0）．
过右焦点作直线l交曲线于A、B两点，若直线l的斜率k=0，此时点A，B分别为双曲线的左右顶点，故|AB|=2，当直线l与双曲线的右支相交时，当l⊥x轴时，得到|AB|最短，此时|AB|=4．若直线l与双曲线的左右两支都相交，则|AB|≥2a=2
①|AB|=1，这样的直线可以做出0条；
②|AB|=2，这样的直线可以做出1条；
③|AB|=3，这样的直线可以做出2条；
④|AB|=4，这样的直线可以做出3条；
⑤|AB|=5，这样的直线可以做出4条
故答案为：0，1，2，3，4．

点评 熟练掌握双曲线的标准方程及其性质、分类讨论的思想方法等是解题的关键．