Question

9．设P是椭圆$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{\frac{75}{4}}$=1上一点，F₁，F₂是椭圆的焦点，若∠F₁PF₂=60°，求△F₁PF₂的面积．

Answer 1

分析 先根据椭圆的方程求得c，进而求得|F₁F₂|，设出|PF₁|=t₁，|PF₂|=t₂，利用余弦定理可求得t₁t₂的值，最后利用三角形面积公式求解．

解答 解：由椭圆$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{\frac{75}{4}}$=1，可得
a=5，b=$\frac{5\sqrt{3}}{2}$，
∴c=$\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}$=$\frac{5}{2}$，
设|PF₁|=t₁，|PF₂|=t₂，
则t₁+t₂=10①，t₁²+t₂²-2t₁t₂•cos60°=5²②，
由①²-②得t₁t₂=25，
∴${S}_{△{F}_{1}P{F}_{2}}$=$\frac{1}{2}$t₁t₂•sin60°=$\frac{1}{2}$•25•$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{25\sqrt{3}}{4}$．

点评 本题主要考查椭圆中焦点三角形的面积的求法，关键是应用椭圆的定义和余弦定理转化，属于中档题．