Question

6．已知点P（1，m）是顶点在坐标原点的抛物线上一点，若点P到该抛物线焦点F的距离为2，则该抛物线方程为y²=4x或x²=2（2±$\sqrt{3}$）y．

Answer 1

分析 讨论若焦点在x轴的正半轴上，设抛物线的方程为y²=2px，若焦点在y轴的正半轴上，可设x²=2ty（p，t＞0），求出准线方程，由抛物线的定义，解方程即可得到所求方程．

解答 解：若焦点在x轴的正半轴上，设抛物线的方程为y²=2px，（p＞0），
准线的方程为x=-$\frac{p}{2}$，
由抛物线的定义可得2=1+$\frac{p}{2}$，解得p=2，
可得抛物线的方程为y²=4x；
若焦点在y轴的正半轴上，可设x²=2ty（t＞0），
准线的方程为y=-$\frac{t}{2}$，
由抛物线的定义可得，2=m+$\frac{t}{2}$，且1=2tm，
解得t=2$±\sqrt{3}$，
可得抛物线的方程为x²=2（2±$\sqrt{3}$）y．
故答案为：y²=4x或x²=2（2±$\sqrt{3}$）y．

点评 本题考查抛物线的方程的求法，注意运用待定系数法，考查解方程的运算求解能力，属于中档题．