Question

15．定义点P（x₀，y₀）到直线l：ax+by+c=0（a²+b²≠0）的有向距离为d=$\frac{{a{x_0}+b{y_0}+c}}{{\sqrt{{a^2}+{b^2}}}}$．已知点P₁、P₂到直线l的有向距离分别是d₁、d₂．以下命题正确的是（　　）

• A． 若d₁-d₂=0，则直线P₁P₂与直线l平行
• B． 若d₁+d₂=0，则直线P₁P₂与直线l平行
• C． 若d₁+d₂=0，则直线P₁P₂与直线l垂直
• D． 若d₁•d₂＜0，则直线P₁P₂与直线l相交

Answer 1

分析 根据有向距离的定义，分别对直线P₁P₂与直线l的位置关系进行判断．

解答 解：设点P₁，P₂的坐标分别为（x₁，y₁）（x₂，y₂），则d₁=$\frac{A{x}_{1}+B{y}_{1}+C}{\sqrt{{A}^{2}+{B}^{2}}}$，d₂=$\frac{A{x}_{2}+B{y}_{2}+C}{\sqrt{{A}^{2}+{B}^{2}}}$．
A，若d₁-d₂=0，则若d₁=d₂，即$\frac{A{x}_{1}+B{y}_{1}+C}{\sqrt{{A}^{2}+{B}^{2}}}$=$\frac{A{x}_{2}+B{y}_{2}+C}{\sqrt{{A}^{2}+{B}^{2}}}$，
∴Ax₁+By₁+C=Ax₂+By₂+C，
∴若d₁=d₂=0时，即Ax₁+By₁+C=Ax₂+By₂+C=0，
则点P₁，P₂都在直线l，∴此时直线P₁P₂与直线l重合，∴A错误．
B，由A知，若d₁=d₂=0时，满足d₁+d₂=0，但此时Ax₁+By₁+C=Ax₂+By₂+C=0，
则点P₁，P₂都在直线l，∴此时直线P₁P₂与直线l重合，∴B错误．
C，由A知，若d₁=d₂=0时，满足d₁+d₂=0，但此时Ax₁+By₁+C=Ax₂+By₂+C=0，
则点P₁，P₂都在直线l，∴此时直线P₁P₂与直线l重合，∴C错误．
D，若d₁•d₂＜0，则$\frac{A{x}_{1}+B{y}_{1}+C}{\sqrt{{A}^{2}+{B}^{2}}}$-$\frac{A{x}_{2}+B{y}_{2}+C}{\sqrt{{A}^{2}+{B}^{2}}}$＜0，
即（Ax₁+By₁+C）（Ax₂+By₂+C）＜0，
∴点P₁，P₂分别位于直线l的两侧，
∴直线P₁P₂与直线l相交，
∴D正确．
故选：D．

点评 本题主要考查与直线距离有关的命题的判断，利用条件推出点与直线的位置关系是解决本题的关键．综合性较强．