Question

5．（3）请认真阅读下列程序框图：已知程序框图中的函数关系式为$f（x）=\frac{4x-2}{x+1}$，程序框图中的D为函数f（x）的定义域，把此程序框图中所输出的数x_i组成一个数列{x_n}
（Ⅰ）若输入${x_0}=\frac{49}{65}$，请写出数列{x_n}的所有项；
（Ⅱ）若输出的无穷数列{x_n}是一个常数列，试求输入的初始值x₀的值；
（Ⅲ）若输入一个正数x₀时，产生的数列{x_n}满足：任意一项x_n，都有x_n＜x_n+1，试求正数x₀的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据f（x）解析式确定出D，把x₀=$\frac{49}{65}$代入程序框图中计算，得到xi∉D时，确定出数列{x_n}的所有项即可；
（Ⅱ）根据输出的无穷数列{x_n}是一个常数列，确定出输入的初始值x₀的值即可；
（Ⅲ）根据题意列出不等式，根据正数x₀，求出解集，确定出正数x₀的取值范围即可．

解答 解：（Ⅰ）当x₀=$\frac{49}{65}$时，x₁=f（$\frac{49}{65}$）=$\frac{11}{19}$，x₂=f（$\frac{11}{19}$）=$\frac{1}{5}$，x₃=f（$\frac{1}{5}$）=-1，
则输出的数列为{$\frac{11}{19}$，$\frac{1}{5}$，-1}；
（Ⅱ）数列{x_n}是一个常数列，则有x₁=x₂=…=x_n=x₀，即x₀=f（x₀）=$\frac{4{x}_{0}-2}{{x}_{0}-1}$，
解得：x₀=1或x₀=2，
则输入的初始值x₀为1或2时输出的为常数列；
（Ⅲ）由题意知：x_n+1=f（x_n）=$\frac{4{x}_{n}-2}{{x}_{n}+1}$＞x_n，
∵x₀＞0，∴x_n＞0，有$\frac{4{x}_{n}-2}{{x}_{n}+1}$＞x_n，
得4x_n-2＞x_n（x_n+1），即x_n²-3x_n+2＜0，即（x_n-2）（x_n-1）＜0，
有x_n+1＞x_n，须（x₀-2）（x₀-1）＜0，
解得：1＜x₀＜2，
则当正数x₀在（1，2）内取值时，所输出的数列{x_n}对任意正整数n满足x_n＜x_n+1．

点评 此题考查了程序框图，弄清程序框图中的运算程序是解本题的关键．