Question

14．已知椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，它的长轴长为短轴长的3倍，且此椭圆经过点A（3，1），求这个椭圆的标准方程．

Answer 1

分析 先设出椭圆的标准形式，再由长轴是短轴长的3倍，结合过点A（3，1），列出关于a，b的方程组，解此方程组即可求得a或b的值，进而可求得椭圆的方程．

解答 解：由题设可知，椭圆的方程是标准方程．a=3b．
（1）当焦点在x轴上时，设椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{9{b}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1
代入点A（3，1），可得$\frac{9}{9{b}^{2}}$+$\frac{1}{{b}^{2}}$=1，∴b²=2
此时椭圆的方程是$\frac{{x}^{2}}{18}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$；
（2）当焦点在y轴上时，设椭圆方程为$\frac{{y}^{2}}{9{b}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1．
代入点A（3，1），可得$\frac{1}{9{b}^{2}}$+$\frac{9}{{b}^{2}}$=1，∴b²=$\frac{82}{9}$
此时椭圆的方程是$\frac{{y}^{2}}{82}+\frac{{x}^{2}}{\frac{82}{9}}$=1．
综上，所求椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{18}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$或$\frac{{y}^{2}}{82}+\frac{{x}^{2}}{\frac{82}{9}}$=1．

点评 本题主要考查椭圆的基本性质的运用等基础知识，考查运算求解能力，考查分类讨论思想、方程思想．属于基础题．