Question

11．E，F是等腰直角△ABC斜边AB上的三等分点，则tan∠ECF=$\frac{3}{4}$，cos∠BCF=$\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$．

Answer 1

分析 取AB中点D，连接CD，设AB=6，则AC=BC=3$\sqrt{2}$，由余弦定理求出CE=CF=$\sqrt{10}$，再由余弦定理得cos∠ECF，由此能求出tan∠ECF．由半角公式求出cos∠DCF，sin∠DCF，再由cos∠BCF=cos（45°-∠DCF），能求出结果．

解答 解：取AB中点D，连接CD，
设AB=6，则AC=BC=3$\sqrt{2}$，
由余弦定理可知cos45°=$\frac{A{C}^{2}+A{E}^{2}-C{E}^{2}}{2AC•AE}$=$\frac{18+4-C{E}^{2}}{2×3\sqrt{2}×2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
解得CE=CF=$\sqrt{10}$，
再由余弦定理得cos∠ECF=$\frac{C{E}^{2}+C{F}^{2}-E{F}^{2}}{2CE•CF}$=$\frac{10+10-4}{2×\sqrt{10}×\sqrt{10}}$=$\frac{4}{5}$，
∴sin$∠ECF=\sqrt{1-（\frac{4}{5}）^{2}}=\frac{3}{5}$，
∴tan∠ECF=$\frac{\frac{3}{5}}{\frac{4}{5}}$=$\frac{3}{4}$．
cos∠DCF=cos$\frac{1}{2}∠ECF$=$\sqrt{\frac{1+\frac{4}{5}}{2}}$=$\sqrt{\frac{9}{10}}$，sin∠DCF=sin$\frac{1}{2}∠ECF$=$\sqrt{\frac{1-\frac{4}{5}}{2}}$=$\sqrt{\frac{1}{10}}$，
cos∠BCF=cos（45°-∠DCF）=cos45°cos∠DCF+sin45°sin∠DCF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（$\sqrt{\frac{9}{10}}+\sqrt{\frac{1}{10}}$）=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
故答案为：$\frac{3}{4}$，$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查角的正切值、余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意正弦定理、余弦定理、半角公式的合理运用．