Question

16．两个同底的正四棱锥内接于同一个球，两个四棱锥侧面与底面形成的角分别为α与β，则tan（α+β）的取值范围是$（{-∞，-2\sqrt{2}}]$．

Answer 1

分析 如图可得∠SEH 和∠MEH即为两个正四棱锥的侧面和底面成的角，设球的半径为R，不妨球心O在平面ABCD的上方，平面ABCD所在的小圆的半径为r 则R≥r．不妨设∠SEH=α，∠MEH=β，求得tanα 和tanβ 的值．由于SH+MH=2R，再根据tan（α+β）=$\frac{\frac{SH}{EH}+\frac{MH}{EH}}{1-\frac{SH}{EH}•\frac{MH}{EH}}$=-2$\sqrt{2}$•$\frac{R}{r}$≤-2$\sqrt{2}$，从而得到tan（α+β）的范围．

解答 解：如图：正四棱锥S-ABCD和正四棱锥M-ABCD的六个顶点
在同一个球面上，设球的半径为R，不妨球心O在平面ABCD的上方，
平面ABCD所在的小圆的半径为r 则R≥r，$\frac{R}{r}$≥1．
则由题意可得SM=SH+MH=2R．
取ABCD的中心为H，取AD的中点E，则由正四棱锥的性质，
可得∠SEH 和∠MEH即为两个正四棱锥的侧面和底面成的角，
不妨设∠SEH=α，∠MEH=β．
∵OH=$\sqrt{{OA}^{2}{-HA}^{2}}$=$\sqrt{{R}^{2}{-r}^{2}}$，EH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$r，
∴SH=R-$\sqrt{{R}^{2}{-r}^{2}}$，MH=R+$\sqrt{{R}^{2}{-r}^{2}}$．
故tanα=$\frac{SH}{EH}$=$\frac{R-\sqrt{{R}^{2}{-r}^{2}}}{\frac{\sqrt{2}}{2}•r}$，tanβ=$\frac{MH}{EH}$=$\frac{R+\sqrt{{R}^{2}{-r}^{2}}}{\frac{\sqrt{2}}{2}•r}$，
tan（α+β）=$\frac{\frac{SH}{EH}+\frac{MH}{EH}}{1-\frac{SH}{EH}•\frac{MH}{EH}}$=$\frac{\frac{2R}{\frac{\sqrt{2}}{2}•r}}{1-\frac{{r}^{2}}{\frac{1}{2}{•r}^{2}}}$=$\frac{2\sqrt{2}•\frac{R}{r}}{1-2}$=-2$\sqrt{2}$•$\frac{R}{r}$≤-2$\sqrt{2}$，
当且仅当R=r，即ABCD所在的圆为大圆时，取等号．
故 tan（α+β）的范围为：$（{-∞，-2\sqrt{2}}]$，
故答案为：$（{-∞，-2\sqrt{2}}]$．

点评 本题主要考查平面和平面成的角的定义，直角三角形中的边角关系，两角和的正切公式，二次函数的性质，属于中档题．